రెండు మాత్రికలను ( matrices) అలానే ఎందుకు గుణించాలి?

జవాబు అత్యవసరం ఐతే చెప్పండి, వెంటనే రాస్తా. 

(ఒక నెల గడిచాక......... ) 
ఒక నెల గడిచినా ఎవరూ వివరణ కోసం అభ్యర్థించలేదు . కానీ 

నా బ్లాగ్ శ్రోతలు ఈ ఒక్క టపా ని బాగా వీక్షించారు , అందుకే ఎవరూ అడగకపొయినా  రాయదలిచాను . 

ఎక్కువ మందికి ఈ మాత్రికల గుణకారం అర్థం కావాలంటే రెండు వరసలు (column )రెండు పంక్తులు (row )ఉండే 2x2 matrix తో మొదలుపెడతా .

1. అన్నిటికంటే ముందు ఒక మాత్రికను ఎందుకలా రాస్తారో తెలుసుకుందాం . " | " ఈ అడ్డగీతను మాత్రికల మధ్య గుణకారానికి ఉపయోగించబోవుచున్నాను , అలాగే ఒక మాత్రిక మరియు వరుసల మధ్య గుణకారానికి కూడా వాడుతున్నాను. 

ఒక కథలా చెప్తా! అర్థం కాకపోతే నిర్మొహమాటంగా అడిగిపారేయండి. 
2. బిర్యానీ వెల  200రూ . కోక్  ధర  50రూ .
     పవన్ కళ్యాన్ మూడు బిర్యానీలు ఒక కోక్  కొన్నాడు , అంటే  3*200+1*50 = 650రూ .
     జూ రామారావు  పాతిక బిర్యానీలు పన్నెండు కోక్ లు కొన్నాడు , అంటే 25*200+12*50=5600రూ .
    వీళ్లిద్దరిలో  ఒక విషయం  దగ్గర సారూప్యథ ఉంది , ఇద్దరూ ఒకే రకమైన తిండి కొన్నారు , కానీ పరిమాణాలు వేర్వేరు .
    అందుకే సారూప్య వస్తు విలువలను (అంటే కోక్ , బిర్యానీ ) వేరుగా , వారు ఎంచుకున్న పరిమాణాల సంఖ్య వేరుగా వ్రాస్తే
    ఒక మాత్రిక సమీకరణం తయారవుతుంది .
        3     1     ।   200   =650
       25   12    ।    50    =5600

      గుర్తుంచుకోండి, ఇలాగే వ్యక్తపరచవలసిన అవసరం లేదు. కానీ ఈ మొత్తం కార్యక్రమంలో ఒక పద్దతికి కట్టుబడి ఉండుట వల్ల వివిధవస్తువుల ప్రమాణాలను గుణించటంలో స్పర్థలు ఉత్పన్నం కావు. 
3. ఇప్పుడు ఒక బిర్యానీకి వచ్చే ఆదాయంలో సమంతకి , తమన్నాకి ఎంతెంత వాటా వుందో తెలుసుకుందాం , అలాగే కోక్ అమ్మకాల్లో ఎంతెంతో కూడా చూద్దాం .
4.  ఒక బిర్యానీ అమ్మితే , అనగా 200 రూ . లలో  పావు సమంతాకి , ముప్పావు తమన్నాకి .
        అంటే , 50*1రూ . + 150*1రూ. =200 రూ .
     ఒక కోక్  అమ్మితే సగం  సమంతాకి , మరోసగం తమన్నాకి ,
      అంటే    25*1రూ . + 25*1రూ. =50 రూ .
5. దీన్ని కూడా మాత్రిక సమీకరణం లా వ్రాసుకుంటే ,
        50  150      । 1రూ   =200 రూ
        25    25      । 1రూ   =50 రూ
6. ఇప్పుడు చెప్పండి  చూద్దాం ,  పవన్ కళ్యాన్ ఇచ్చిన సొమ్ములో సమంతా కి ఎంత చెందుతుంది ? తమన్నాకి ఎంత ?
     అలాగే , జూ రామారావు ఇచ్చిన పైకం లో  సమంతకి , తమన్నాకి ఎంతెంత పోతుంది ?
7. రెండవ సమీకరణాన్ని మొదటి దానిలో ఉపయోగిస్తే ఒక కొత్త సమీకరణం తయారవుతుంది .
     
       3     1     ।   200   =650            
       25   12    ।    50    =5600    

      లోకి 

        50  150      । 1రూ   =200 రూ

        25    25      । 1రూ   =50 రూ          ని  జొప్పించిన క్రింది సమీకరణం వచ్చును .

8.  
                3     1     ।  50  150      । 1రూ   = 650 రూ
               25   12    ।  25    25      । 1రూ   = 5600 రూ

9.  ఇప్పుడు మాత్రిక గుణకార నియమంను ఉపయోగిస్తే , ఒక కొత్త మాత్రిక వచ్చును .
              175       475   ।   1 రూ  =650
              1550   4050    ।  1 రూ  =5600

10. పుస్తకాలలో చెప్పినట్టు కాకుండా ఇంకోలా  గుణించ కూడదా  ?

11. ఎందుకంటే ,  ax+by=A            pA+qB=Y
                        cx+dy=B   and   rA+sB =Z    implies an equation in just x and y if A and B are substituted.

12.
      i.e.
                       p(ax+by)+q(cx+dy)=Y                      (pa+qc)x+(pb+qd)y=Y
                       r(ax+by)+s(cx+dy) =Z       implies    (ra+sc)x +(rb+sd)y =Z

13.  పైన ఉదహరించిన విధంగా ఒక సమీకరణంలో ఇంకొకటి చొప్పిస్తే వచ్చే కొత్త మాత్రిక విలువలు మాత్రిక గుణకార పద్దతిని నిర్దేసిస్తాయి . ఇక్కడ జరిగినదేమిటంటే ,  

               p   q   |  a  b              pa+qc        pb+qd
               r    s   |  c  d         =   ra+sc         rb+sd 

14. మీకు నచ్చిన విధంగా ఒక సమీకరణాన్ని ఎలాగైనా వ్రాసుకోండి. ఉదాహరణకు 

            3     1     ।   [200 50 ] = [650   5600] 
           25   12    ।   

కానీ పిదప అన్నిటా ఒకే నియమం పాటించండి. 

ఇది ఎంత ముఖ్యమంటే, ఎవరైనా ఒకరు సూర్యుడు ఉదయించే దిక్కు తూర్పు అంటే అందరూ దానిని తూర్పు అని ఆచరించాలి. లేకపోతే సమీకరణాల మాదిరే ఒకరు చెప్పేది మరొకరికి అర్థం కాదు.